РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2195 Добавить в вариант

Сложность: V

Методы геометрии: Использование тригонометрии

Классификатор стереометрии: 1\.3\. Угол между плоскостями, 3\.6\. Неправильные пирамиды

Разные задачи

Основанием четырехугольной пирамиды является ромб, у которого косинус угла равен $дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби$ и длина стороны равна 8. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом α, а высота пирамиды равна 18. Найдите значение выражения $2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента умножить на тангенс альфа .$

Решение.

Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под одним углом, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в ромб, лежащий в основании, центром окружности является точка пересечения диагоналей ромба. Найдем радиус окружности, вписанной в ромб. Пусть острый угол ромба равен β. Отрезок BM равен 2r, AB  =  8. Найдем $синус бета .$ Имеем:

$синус бета = корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате бета конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 64 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$

Тогда:

$2r = 8 синус бета = дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби = корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ,$

откуда $r = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Тангенс угла α равен отношению высоты пирамиды к радиусу окружности, вписанной в ромб. Имеем:

$тангенс альфа = дробь: числитель: 18, знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби } = дробь: числитель: 18 умножить на 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 36 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 15 конец дроби .$

Найдем значение выражения $2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента умножить на тангенс альфа :$

$2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 36 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 72 умножить на 15, знаменатель: 15 конец дроби = 72.$

Ответ: 72.

Ответ: 72

2195

Сложность: V

Методы геометрии: Использование тригонометрии

Классификатор стереометрии: 1\.3\. Угол между плоскостями, 3\.6\. Неправильные пирамиды

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2195	72